Números primos

Los números primos han atraído la atención humana desde los primeros días de la civilización. Les explicamos qué son, por qué su estudio entusiasma tanto a los matemáticos como a los aficionados, y en el camino abrimos una ventana al mundo del matemático.

Desde el comienzo de la historia humana, los números primos despertaron la curiosidad humana. ¿Qué son? ¿Por qué las preguntas relacionadas con ellos son tan difíciles? Una de las cosas más interesantes de los números primos es su distribución entre los números naturales. A pequeña escala, la aparición de números primos parece aleatoria, pero a gran escala parece haber un patrón que todavía no se comprende del todo. En este breve artículo, intentaremos seguir la historia de los números primos desde la antigüedad y aprovecharemos esta oportunidad para sumergirnos y comprender mejor el mundo de los matemáticos.

NÚMEROS COMPUESTOS Y NÚMEROS PRIMOS

Plantilla:Números compuestos y números primos
números compuestos y números primos

¿Alguna vez te has preguntado por qué el día se divide exactamente en 24 h y el círculo en 360 grados? 

El número 24 tiene una propiedad interesante: se puede dividir en partes iguales enteras en un número relativamente grande de formas. 

Por ejemplo, 24 ÷ 2 = 12, 24 ÷ 3 = 8, 24 ÷ 4 = 6, y así sucesivamente (¡complete el resto de las opciones usted mismo!). 

Esto significa que un día se puede dividir en dos partes iguales de 12 h cada una, diurna y nocturna. En una fábrica que trabaja ininterrumpidamente en turnos de 8 h, cada día se divide en exactamente tres turnos.

Esta es también la razón por la que el círculo se dividió en 360 °. Si el círculo se divide en dos, tres, cuatro, diez, doce o treinta partes iguales, cada parte contendrá un número entero de grados; y hay formas adicionales de dividir un círculo que no mencionamos. En la antigüedad, dividir un círculo en sectores de igual tamaño con alta precisión era necesario para diversos fines artísticos, astronómicos y de ingeniería. Con una brújula y un transportador como únicos instrumentos disponibles, la división de un círculo en sectores iguales tenía un gran valor práctico. 1

Un número entero que se puede escribir como el producto de dos números más pequeños se llama número compuesto.

un número entero que se puede escribir como producto de dos números más pequeños, por ejemplo, 24 = 3 × 8.. Por ejemplo, las ecuaciones 24 = 4 × 6 y 33 = 3 × 11 muestran que 24 y 33 son números compuestos. Un número que no se puede desglosar de esta manera se denomina número primo. un número entero que no se puede escribir como el producto de dos números más pequeños, como 7 o 23. 

Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 son todos números primos. De hecho, estos son los primeros 10 números primos (¡puede comprobarlo usted mismo, si lo desea!).

Mirar esta breve lista de números primos ya puede revelar algunas observaciones interesantes. Primero, excepto el número 2, todos los números primos son impares, ya que un número par es divisible por 2, lo que lo hace compuesto. 

Entonces, la distancia entre dos números primos cualesquiera en una fila es al menos 2. En nuestra lista, encontramos números primos sucesivos cuya diferencia es exactamente 2 (como los pares 3, 5 y 17, 19). 

También hay brechas más grandes entre números primos sucesivos, como la brecha de seis números entre 23 y 29; cada uno de los números 24, 25, 26, 27 y 28 es un número compuesto. Otra observación interesante es que en cada uno de los grupos primero y segundo de 10 números (es decir, entre 1–10 y 11–20) hay cuatro números primos, pero en el tercer grupo de 10 (21–30) solo hay dos. 

¿Qué significa esto? ¿Los números primos se vuelven más raros a medida que crecen? ¿Alguien puede prometernos que podremos seguir encontrando más y más números primos de forma indefinida?

Si en esta etapa algo te emociona y deseas seguir investigando la lista de números primos y las preguntas que planteamos, significa que tienes alma de matemático. ¡Detener! ¡No sigas leyendo! 

Coge un lápiz y una hoja de papel. Escribe todos los números hasta el 100 y marca los números primos. Comprueba cuántos pares con una diferencia de dos hay. Comprueba cuántos números primos hay en cada grupo de 10. ¿Puedes encontrar algún patrón? ¿O la lista de números primos hasta 100 le parece aleatoria?

UN POCO DE HISTORIA Y EL CONCEPTO DE TEOREMA

Historia de los números primos

Los números primos han ocupado la atención humana desde la antigüedad e incluso se asociaron con lo sobrenatural. Incluso hoy, en los tiempos modernos, hay personas que intentan dotar a los números primos de propiedades místicas . 

El conocido astrónomo y autor científico Carl Sagan escribió un libro en 1985 llamado “Contacto”, que trata sobre extraterrestres (una cultura similar a la humana fuera de la tierra) que intentan comunicarse con los humanos utilizando números primos como señales. 

La idea de que las señales basadas en números primos podrían servir como base para la comunicación con culturas extraterrestres continúa encendiendo la imaginación de muchas personas hasta el día de hoy.

Se asume comúnmente que el interés serio por los números primos comenzó en los días de Pitágoras. Pitágoras fue un antiguo matemático griego. Sus estudiantes, los pitagóricos, en parte científicos y en parte místicos, vivieron en el siglo VI a. C. 

No dejaron pruebas escritas y lo que sabemos de ellos proviene de historias que se transmitieron oralmente. Trescientos años después, en el siglo III a. C., Alejandría (en el Egipto moderno) era la capital cultural del mundo griego. 

Euclides, que vivió en Alejandría en los días de Ptolomeo el primero, puede ser conocido por la geometría euclidiana, que lleva su nombre. La geometría euclidiana se ha enseñado en las escuelas durante más de 2000 años. 

Pero Euclides también estaba interesado en los números. En el noveno libro de su obra “Elementos”, en la Proposición 20, aparece por primera vez una prueba matemática una serie de argumentos lógicos destinados a probar la verdad de un teorema matemático.

 La prueba se basa en supuestos básicos que se probaron o en otros teoremas que se probaron previamente del teorema una afirmación expresada en el lenguaje de las matemáticas que definitivamente puede decirse que es válida o inválida en un determinado sistema. que hay infinitos números primos.

Figura 1
La gente detrás de los números primos.

Este es un buen lugar para decir algunas palabras sobre los conceptos de teorema y demostración matemática. Un teoremaes una declaración que se expresa en un lenguaje matemático y se puede decir con certeza que es válida o inválida. 

Por ejemplo, el teorema “hay infinitos números primos” afirma que dentro del sistema de números naturales (1, 2, 3…) la lista de números primos es interminable. Para ser más precisos, este teorema afirma que si escribimos una lista finita de números primos, siempre podremos encontrar otro número primo que no esté en la lista. Para probar este teorema, no es suficiente señalar un número primo adicional para una lista dada específica. 

Por ejemplo, si señalamos 31 como un número primo fuera de la lista de los primeros 10 primos mencionados anteriormente, mostraremos que esa lista no incluía todos los números primos. Pero tal vez al sumar 31 ahora hemos encontrado todos los números primos, ¿y no hay más? 

Qué necesitamos hacer, cualquier lista finita, siempre que sea, podemos encontrar un número primo que no está incluido en ella. En la siguiente sección, presentaremos la prueba de Euclides, sin agobiarlo con demasiados detalles.

PRUEBA DE EUCLIDES DE LA EXISTENCIA DE INFINITOS NÚMEROS PRIMOS

Para demostrar que hay infinitos números primos, Euclides usó otro teorema básico que conocía, que es el enunciado de que “ todo número natural se puede escribir como un producto de números primos. ” Es fácil convencerse de la verdad de esta última afirmación. 

Si elige un número que no es compuesto, entonces ese número es primo en sí mismo. De lo contrario, puede escribir el número que eligió como producto de dos números más pequeños. Si cada uno de los números más pequeños es primo, ha expresado su número como producto de números primos. 

Si no es así, escriba los números compuestos más pequeños como productos de números aún más pequeños, y así sucesivamente. En este proceso, sigues reemplazando cualquiera de los números compuestos con productos de números más pequeños. 

Dado que es imposible hacer esto para siempre, este proceso debe terminar y todos los números más pequeños con los que termine ya no se pueden desglosar, lo que significa que son números primos. Como ejemplo, descompongamos el número 72 en sus factores primos:

72 = 12 × 6 = 3 × 4 × 6 = 3 × 2 × 2 × 6 = 3 × 2 × 2 × 2 × 3

Basado en este hecho básico, ahora podemos explicar la hermosa demostración de Euclides de la infinitud del conjunto de números primos. Demostraremos la idea usando la lista de los primeros 10 números primos, pero observe que esta misma idea funciona para cualquier lista finita de números primos. 

Multipliquemos todos los números de la lista y agreguemos uno al resultado. Démosle el nombre N al número que obtenemos. (El valor de N en realidad no importa, ya que el argumento debería ser válido para cualquier lista).

N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29) +1.

El número N , al igual que cualquier otro número natural, se puede escribir como producto de números primos. ¿Quiénes son estos números primos, los factores primos de N ? No sabemos, porque no las hemos calculado, pero hay una cosa que sabemos con certeza: todos brecha N .

 Pero el número N deja un resto de uno cuando se divide por cualquiera de los números primos en nuestra lista 2, 3, 5, 7,…, 23, 29. Se supone que esta es una lista completa de nuestros primos, pero ninguno de ellos divisiones N . 

Entonces, los factores primos de N no están en esa lista y, en particular, debe haber nuevos números primos más allá de 29.

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