¿Por qué el número uno no es primo?

Dibujo de Número 1 pintado por en Dibujos.net el día 10-04-18 a las  11:55:49. Imprime, pinta o colorea tus propios dibujos!

¡El número uno es mucho más especial que un primo! Es la unidad (el bloque de construcción) de los enteros positivos, por lo tanto, el único entero que merece su propio axioma de existencia en los axiomas de Peano. Es la única identidad multiplicativa (1 · a = a · 1 = a para todos los números a ). Es la única n- ésima potencia perfecta para todos los enteros positivos n . Es el único entero positivo con exactamente un divisor positivo. Pero no es un primo. ¿Entonces por qué no? A continuación damos cuatro respuestas, cada una más técnica que su precursora. 

Si esta pregunta le interesa, puede mirar la historia de la primalidad de uno como se describe en nuestros artículos: “¿Cuál es la prima más pequeña?” y “La historia de la primordialidad del uno: una selección de fuentes”. Estos artículos examinan la historia del concepto de primo y del número uno. Puede que le sorprenda saber que durante la mayor parte de la historia uno ni siquiera se consideraba un número (sino más bien “la fuente del número”), por lo que obviamente no se consideraba primo. Esto probablemente debería agregarse a esta página como otra razón por la que uno no se considera principal: por uso histórico.

Respuesta uno: ¡Por definición de primo!

La definición es la siguiente. Un entero 

mayor que uno se llama número primo si sus únicos divisores positivos (factores) son uno y él mismo. 

Claramente, uno queda fuera, pero esto realmente no responde a la pregunta “¿por qué?” 

Respuesta dos: debido al propósito de los números primos.

Euclides introdujo la noción formal de números primos en su estudio de los números perfectos (en su clásico de “geometría” Los elementos ). Euclid necesitaba saber cuándo un número entero n se factorizaba en un producto de números enteros más pequeños (una factorización no trivial), por lo que estaba interesado en los números que no factorizaban. Usando la definición anterior, demostró: 

El teorema fundamental de la aritmética     Cada entero positivo mayor que uno se puede escribir de forma única como un producto de números primos, con los factores primos en el producto escritos en orden de tamaño no decreciente.

Aquí encontramos el uso más importante de los números primos: son los bloques de construcción únicos del grupo multiplicativo de números enteros. Al hablar de la guerra, a menudo se escucha la frase “divide y vencerás”. El mismo principio se aplica a las matemáticas. Muchas de las propiedades de un número entero se remontan a las propiedades de sus divisores primos, lo que nos permite dividir el problema (literalmente) en problemas más pequeños. El número uno es inútil en este sentido porque a = 1 a = 1 a = … Es decir, la divisibilidad por uno no nos proporciona ninguna información sobre a . 

Respuesta tres: Porque uno es una unidad.

No vayas sintiendo lástima por uno, es parte de una clase importante de números llamados unidades (o divisores de unidad ). Estos son los elementos (números) que tienen un inverso multiplicativo. Por ejemplo, en los enteros habituales hay dos unidades {1, -1}. Si ampliamos nuestro alcance para incluir los enteros gaussianos { a + bi | a, b son números enteros}, entonces tenemos cuatro unidades {1, -1, i , – i }. En algunos sistemas numéricos hay infinitas unidades. 

Así que, de hecho, hubo un tiempo en el que mucha gente definió a uno como primo, pero es la importancia de las unidades en las matemáticas modernas lo que hace que tengamos mucho más cuidado con el número uno (y con los primos).

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